Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Posted on

 3,116 total views,  5 views today

CerdasMateri Seri X 3.1_2 Matematika SMA
Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Kompetensi Dasar

3.1 Menginterpretasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear aljabar
4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah jenis pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak. Pertidaksamaan nilai mutlak dapat ditemukan terapannya dalam simetri, batas-batas simetris, atau kondisi-kondisi batas. Untuk menyelesaiakan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak, kita dapat menyelesaikan dengan bentuk : 

Jika a bilangan real positif maka penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut:

a.  | x | < a    maka –a < x < a
      tentu juga berlaku untuk | x |  a    maka –a  x  a

b.  | x | > a    maka x < –a  atau  x > a
      tentu juga berlaku untuk | x |  a    maka x  –a  atau  x  a

Pada pertidaksamaan nilai mutlak untuk  x, y bilangan real, maka:

  • | x |  0
  • | x + y|  | x | + | y |
  • | x – y|  | x | + | y |
  • Jika  x < y maka x2 < y2

Baca Juga : Persamaan Nilai Mutlak

Contoh 1

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari | x – 2016|  4  

Jawab

= | x – 2016| 4

= –4 x – 2016 4

= –4 + 2016 4 + 2016

= 2012 2020

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah { x | 2012 x 2020, x ɛ R}

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak |3 – 2x| < 5

 Jawab

      |3 – 2x| < 5

      –5 < 3 – 2x  < 5

      –8 < –2x  < 2

        4 >  x  > –1

       –1 <  x < 4

      Sehingga penyelesaiannya adalah –1 <  x < 4

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak |3x – 4|

Baca Juga :  Cerdas Materi Matematika SMA Seri XI 3.8_2 Rumus-rumus Turunan Fungsi
8

Jawab

| 3x – 4 | 8

3x – 4 –8  atau  3x – 4  8

3x –4  atau      3x 12

  x –4/3 atau      x 4

Sehingga HP = { x | x –4/3  atau   x 4, x ɛ R}

Contoh 4

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak 2 < | 2 – ½x| 3

Jawab

  • | 2 – ½x | 3

– 3 (2 – ½x) 3

– 5 (–½x) 1

10   x –2

–2   x 10   ————————————— (i)

  • | 2 – ½x | > 2

(2 – ½x) < –2   atau   (2 – ½x) > 2

  (–½x) < –4   atau        (–½x) > 0

x > 8    atau                 x < 0

x < 0    atau                 x > 8   ———– (ii)

Dari penyelesaian i) dan ii) dapat digambarkan :

Dari gambar di atas diperoleh penyelesaian: –2 ≤ x < 0  atau   8 < x ≤ 10

Contoh 5

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak –1 < | 4 – 5x | < 10

Jawab

  • | 4 – 5x | < 10

–10  < 4 – 5x  < 10             

–14 < –5x  < 6

14/5 > x  > -6/5

-6/5 < x < 14/5

  • | 4 – 5x | > –1   Berlaku untuk setiap nilai x karena nilai harga mutlak selalu lebih atau sama dengan nol

      Sehingga penyelesaiannya adalah -6/5 < x < 14/5

Contoh 6

Tentukan HP dari pertidaksamaan harga mutlak | x2 – 1 | < 3

  Jawab

      | x2 – 1 | < 3  

      –3  < x2 – 1  < 3

      –2  < x2 < 4

  • x2  > –2    Berlaku untuk setiap nilai x karena kuadrat untuk setiap nilai x selalu lebih atau sama dengan nol
  • x2 < 4

x2 – 4 < 0

(x + 2) (x – 2) < 0    Bisa gunakan garis bilangan dan nilai-nilai nol

–2 < x < 2         Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {x| –2 < x < 2, x ɛ R}

Baca Juga :  Cerdas Materi Matematika SMA Seri X 3.9_3 Luas Segitiga

Contoh 7

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak |4x – 3| ≥ x + 1

Jawab    

Kedua ruas dikuadratkan:

(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2

(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0

((4x – 3) + (x + 1))( (4x – 3)– (x + 1))  ≥ 0   (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))

(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0

Nilai-nilai nol :           5x – 2 = 0     atau   3x – 4 = 0
                                           x = 2/5    atau            x = 4/3     

Sehingga diperoleh:  x 2/5  atau  x ≥ 4/3

Perhatikan Syarat Lain  x + 1 ≥ 0
                                                      x ≥ –1

Sehingga penyelesaiannya adalah –1 x 2/5    atau  x ≥ 4/3

Contoh 8

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |2x – 5| < |x + 4|

 Jawab     

Kedua ruas dikuadratkan:

(2x – 5)2 < (x + 4)2

(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0

((2x – 5) + (x + 4)).((2x – 5) –( x + 4)) < 0    (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))

(3x – 1)(x – 9) < 0  

1/3 < x < 9

Sehingga penyelesaiannya adalah 1/3 < x < 9

TUGAS MANDIRI

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:

1. |x – 5| < 5

2.  |3x – 2| ≥ 7

3.  | x2 + 5x| 6

4.  x + |x – 3| 3

5.  |x – 1| – 2|x| > 3

6.  |x – 2|2 > 4|x – 2| +12

Terima Kasih

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *