Cerdas Materi Matematika SMA Seri XI 3.8_6 Nilai Maks dam Min pada Interval Tertutup

Posted on

 4,745 total views,  20 views today

Kompetensi Dasar:

3.8.      Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi atau sifat-sifat turunan fungsi

4.8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM
SUATU Fungsi DALAM INTERVAL TERTUTUP

PETA KONSEP

Peta Konsep Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum pada Interval Tertutup

Materi pembelajaran
Perhatikan gambar berikut!

Dar gambar di atas dapat diperoleh:

1)   Nilai x untuk y = f(x)

  • a < b dan f(a) < f(b)
  • b < c dan f(b) > f(c)
  • c < d dan f(c) < f(d)
  • d < e dan f(d) > f(e)

2)   Grafik  fungsi f(x)

  • Interval a < x < b grafik f(x) naik
  • Interval b < x < c grafik f(x) turun
  • Interval c < x < d grafik f(x) naik
  • Interval d < x < e grafik f(x) turun

Dengan demikian diperoleh konsep bahwa:

  1. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik
    Untuk setiap x1 dan x2 dalam interval I, jika  x1 < x2 maka f(x1) < f(x2)
  2. Fungsi f(x) dikatakan fungsi turun
    Untuk setiap x1 dan x2 dalam interval I, jika  x1 < x2 maka f(x1) > f(x2)

Langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi dalam interval terutup adalah:

  1. Menentukan turunan fungsi f(x)
  2. Menentukan absis stasioner dengan syarat f1(x) = 0
  3. Menentukan nilai-nilai stasioner
  4. Menentukan jenis setiap nilai stasioner
  5. Menentukan nilai fungsi pada ujung-ujung nterval tertutup
  6. Membandingkan nilai pada langkah 3) dan langkah 5), dengan catatan:
    • Nilai yang terbesar adalah nilai maksimum
    • Nilai yang terkecil adalah nilai minimum

Contoh 1
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14 dalam interval:

a.  –2 £ x £ 1
b.  –2 £ x £ 4
c.  0 £ x £ 2

Penyelesaian:

f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f1(x) = 3x2 – 6x – 9
Syarat stasioner adalah f1 (x) = 0
⇔  3x2 − 6x – 9 = 0
⇔  3x2 − 6x – 9 = 0
⇔  3(x2 − 2x – 3) = 0
⇔  x2 − 2x – 3 = 0
⇔  (x – 3) (x + 1) = 0
⇔  x = 3 atau  x = –1

Baca Juga :  Cerdas Materi Matematika SMA Seri XI 3.8_2 Rumus-rumus Turunan Fungsi

Nilai stasioner
Untuk x = 3
f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f (3) = (3)3 – 3(3)2 – 9(3) + 14
f (3) = –13
Untuk x = –1
f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f (–1) = (–1)3 – 3(–1)2 – 9(–1) + 14
f (–1) = 19

Sehingga dapat disimpulkan bahwa:
f (–1) = 19 adalah nilai balik maksimum
f (3)  = –13 adalah nilai balik minimum.

a.    Nilai maksimum dan nilai minimum pada interval –2 £ x £ 1

       1)  Pada interval –2 £ x £ 1, nilai stasioner yang ada adalah f (–1) = 19
       2)  Nilai ujung-ujung interval tertutup:

            Untuk x = –2
f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f (–2) = (–2)3 – 3(–2)2 – 9(–2) + 14
f (–2) = –8 – 12 + 18 + 14
f (–2) = 12

            Untuk x = 1
f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f (1) = (1)3 – 3(1)2 – 9(1) + 14
f (1) = 1 – 3 – 9 + 14
f (1) = 3

       3)  Dengan membandingkan nilai-nilai pada poin 1) dan 2)
            Pada interval –2 £ x £ 1 diperoleh kesimpulan:

  • Nilai makasimum = 19         (Nilai maksimum mutlak)
  • Nilai minimum  = 3              (Nilai minimum relatif)

            Dapat ditulis: Untuk interval –2 £ x £ 1 maka 3 £ f(x) £ 19

b.    Nilai maksimum dan nilai minimum pada interval –2 £ x £ 4
1)  Pada interval –2 £ x £ 4, nilai stasioner yang ada adalah f (–1) = 19 dan f (3) = –13
2)  Nilai ujung-ujung interval tertutup:

            Untuk x = –2
f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f (–2) = (–2)3 – 3(–2)2 – 9(–2) + 14
f (–2) = –8 – 12 + 18 + 14
f (–2) = 12

            Untuk x = 4
f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f (4) = (4)3 – 3(4)2 – 9(4) + 14
f (4) = 64 – 48 – 36 + 14
f (4) = –6

Baca Juga :  Cerdas Materi Matematika SMA Seri X 3.9_3 Luas Segitiga

       3)  Dengan membandingkan nilai-nilai pada poin 1) dan 2)
            Pada interval –2 £ x £ 4 diperoleh kesimpulan:

  • Nilai makasimum = 19         (Nilai maksimum mutlak)
  • Nilai minimum  = –13          (Nilai minimum mutlak)

            Dapat ditulis: Untuk interval –2 £ x £ 4 maka –13 £ f(x) £ 19

c.    Nilai maksimum dan nilai minimum pada interval 0 £ x £ 2
       1)  Pada interval 0 £ x £ 2, tidak ada nilai stasioner yang memenuhi
       2)  Nilai ujung-ujung interval tertutup:

            Untuk x = 0
f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f (0) = (0)3 – 3(0)2 – 9(0) + 14
f (0) = 14

            Untuk x = 2
f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
f (2) = (2)3 – 3(2)2 – 9(2) + 14
f (2) = 8 – 12 – 18 + 14
f (2) = –8

3)  Dengan membandingkan nilai-nilai pada poin 1) dan 2)
           Pada interval 0 £ x £ 2 diperoleh kesimpulan:

  • Nilai makasimum = 14         (Nilai maksimum relatif)
  • Nilai minimum  = –8            (Nilai minimum relatif)

Dapat ditulis: Untuk interval 0 £ x £ 2 maka –8 £ f(x) £ 14

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *