Cerdas Materi Matematika SMA Seri XI 3.8_5 Nilai Stasioner

Posted on

 4,593 total views,  44 views today

KOMPETENSI DASAR

3.8.      Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi atau sifat-sifat turunan fungs
4.8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar

NILAI-NILAI STASIONER

PETA KONSEP

Peta Konsep Turunan (Nilai-nilai Stasioner)

MATERI PEMBELAJARAN

Pengertian Stasioner
Stasioner menurut KBBI bermakna tetap; tidak berubah; ajek (tentang jumlah, nilai, ukuran, posisi, dan sebagainya).

Nilai stasioner adalah nilai kritis, dimana fungsi tersebut tidak naik dan tidak turun. Nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner dapat ditentukan dengan syarat f1(x) = 0. Nilai f(a) adalah nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a.

Pengertian titik Stasioner adalah titik dimana turunan pertama kurva sama dengan nol. Secara matematis bisa ditulis (x, f(x)), sehingga titik stasioner untuk x = a  adalah (a ,  f(a))

Perhatikan gambar berikut:

Dari gambar grafik fungsi f(x) di atas dapat diketahui:

1.    Titik-titik x = a,  x = b, dan x = c adalah absis stasioner

2.    Titik-titik y = f(a),  y = f(b), dan y = f(c) adalah nilai stasioner

3.    Titik P(a, f(a)), Q(b, f(b)) dan R(c, f(c)) adalah titik-titik stasioner

       Jenis-jenis Stasioner

  • P(a, f(a))       Titik balik minimum
  • Q(b, f(b))      Titik balik maksimum
  • R(c, f(c))        Titik belok

Jenis-jenis Stasioner

1.    f(a) adalah Nilai Maksimum     
Nilai  f1(a)                                      

  • x < a   → f 1 (a) > 0
  • x = a   → f 1 (a) = 0
  • x > a   → f 1 (a) < 0

Tanda f1(a)     

Bentuk Grafik

2.    f(a) adalah Nilai Minimum       
      Nilai  f1(a)                                      

  • x < a   → f 1 (a) < 0
  • x = a   → f 1 (a) = 0
  • x > a   → f 1 (a) > 0

Tanda f1(a)     

Bentuk Grafik  

         

3.    f(a) adalah Nilai Belok Horisontal       
       Nilai  f1(a)                                              

  • x < a   → f 1 (a) > 0
  • x = a   → f 1 (a) = 0
  • x > a   → f 1 (a) > 0
Baca Juga :  Cerdas Materi Matematika SMA Seri XI 3.8_6 Nilai Maks dam Min pada Interval Tertutup

Tanda f1(a)              

Bentuk Grafik 

atau

  • x < a   → f 1 (a) < 0
  • x = a   → f 1 (a) = 0
  • x > a   → f 1 (a) < 0

Tanda f1(a)     

Bentuk Grafik

Langkah-langkah Menentukan Nilai dan Jenis Stasioner
Adapun tahapan dalam menentukan nilai dan jenis stasioner suatu fungsi f(x) adalah sebagai berikut:

  1. Menentukan turunan fungsi f(x)
  2. Menentukan syarat fungsi mempunyai nilai stasioner yaitu f1(x) = 0
  3. Menentukan absis stasioner
  4. Menentukan nilai-nilai stasioner
  5. Mengambil titik uji diantara absis-absis stasioner
  6. Menguji titik uji pada f1(x) untuk menentukan tanda-tanda setiap interval
  7. Menentukan jenis setiap nilai stasioneR

Contoh 1
Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 14. 

Penyelesaian:

f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 14
f1(x) = 3x2 − 6x − 9

  • Syarat stasioner adalah f1(x) = 0
    Maka
    ⇔  3x2 − 6x – 9 = 0
    ⇔  3(x2 − 2x – 3) = 0
    ⇔  x2 − 2x – 3 = 0
    ⇔  (x – 3) (x + 1) = 0
    ⇔  x = 3 atau  x = –1    (Absis stasioner)
  • Menentukan nilai stasioner dengan mensubtitusi nilai x pada f(x)
    Untuk x = 3
    f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 14
    f (3) = (3)3 – 3(3)2 – 9(3) + 14
    f (3) = –13      
    Untuk x = –1
    f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 14
    f (–1) = (–1)3 – 3(–1)2 – 9(–1) + 14
    f (–1) = 19
    Maka titik-titik stasionernya adalah (3 , –13) dan (–1 , 19)
  • Menentukan jenis-jenis stasioner
    Ambillah nilai-nilai x di antara interval-interval tersebut, diuji pada
    f1(x) = 3x2 − 6x − 9
    Untuk  x = –2  (Kurang dari –1)
    f1(–2) = 3(–2)2 − 6(–2) − 9
    f1(–2) = 12 + 12 – 9
    f1(–2) = 15  (Interval kurang dari –1 adalah positif)

Untuk  x = 0 (antara–1 dan 3)
f1(0) = 3(0)2 − 6(0) − 9
      f1(0) = 0+ 0 – 9
      f1(0) = –9  (Interval antara–1 dan 3 adalah negatif)
Untuk  x = 4 (lebih dari 3)

      f1(4) = 3(4)2 − 6(4) − 9
      f1(4) = 48 − 24 – 9
      f1(4) = 15  (Interval lebih dari 3 adalah positif)
Jika digambarkan dalam garis bilangan:

Baca Juga :  Komponen Kimiawi Penyusun Sel

Maka :       (3 , –13) adalah titik balik minimum
(–1 , 19) adalah titik balik maksimum

Contoh 2
Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = 3x5 − 5x3 

Penyelesaian:
f(x) = 3x5 − 5x3 
f1(x) = 15x4 − 15x2 

  • Syarat stasioner adalah f1(x) = 0
    Maka
    ⇔  15x4 − 15x2  = 0
    ⇔  15 x2 (x2 −1) = 0
    ⇔  x2 (x2 −1) = 0
    ⇔  x2(x – 1) (x + 1) = 0
    ⇔  x = 0  atau x = 1 atau  x = –1    (Absis stasioner)
  • Menentukan nilai stasioner dengan mensubtitusi nilai x pada f(x)
    Untuk x = 0
    f(x) = 3x5 − 5x3 
    f (0) = 3(0)x5 − 5(0)3 
    f (0) = 0          
    Untuk x = 1
    f (x) = 3x5 − 5x3 
    f (1) = 3(1)5 – 5(1)3
    f (1) = –2
    Untuk x = –1
    f (x) = 3x5 − 5x3 
    f (–1) = 3(–1)5 – 5(–1)3
    f (–1) = 2
    Maka titik-titik stasionernya adalah (0 , 0), (1 , –2)  dan (–1 , 2)
  • Menentukan jenis-jenis stasioner
    Ambillah nilai-nilai x di antara interval-interval tersebut, diuji pada
    f1(x) = 15x4 − 15x2 
    Untuk  x = –2  (kurang dari –1)
    f1(–2) = 15(–2)4 − 15(–2)2
    f1(–2) = 240  – 60
    f1(–2) = 180  (Interval kurang dari –1 adalah positif)
    Untuk  x = –½ (antara–1 dan 0)
    f1(–½) = 15(–½)4 − 15(–½)2
    f1(–½) = 15/16  – 15/4
    f1(–½) = –45/16  (Interval antara –1 dan 0 adalah negatif)

Untuk  x = ½ (antara 0 dan 1)
      f1(½) = 15(½)4 − 15(½)2
      f1(½) = 15/16  – 15/4
      f1(½) = –45/16  (Interval antara 0 dan 1 adalah negatif)

Untuk  x = 2  (lebih dari 1)
      f1(2) = 15(2)4 − 15(2)2
      f1(2) = 240  – 60
      f1(2) = 180  (Interval lebih dari 1 adalah positif)

Jika digambarkan dalam garis bilangan:

Maka :       (–1 ,  2) adalah titik balik maksimum
(0 , 0) adalah titik belok
                  (1 , –2) adalah titik balik minimum

KEGIATAN MANDIRI  

  1. Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = 3 + 2x − x2 .
  2. Diketahui f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x. Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi tersebut!
  3. Diketahui f(x) = ⅓x3 – x2 – 3x + 4. Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi tersebut!
  4. Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x4  − 2x2 .
  5. Diketahui f(x) = x4 + 2x3  – 3x2 – 4x + 4. Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi tersebut!
  6. Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = (x2  − 4)2
Baca Juga :  Fertilisasi, Gestasi dan Partus

TERIMA KASIH

  • Penulis    :    Tim Pojok Cerdas (SM)
  • Editor     :    Tim Pojok Cerdas (AA)
  • Sumber   :  
    • Buku Guru Matematika SMA/MA/SMK/MAK XI Kemdikbud, 2017
    • Buku Matematika XI, Erlangga

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *