Cerdas Materi Matematika SMA Seri XI 3.8_3 Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Posted on

 6,797 total views,  20 views today

KOMPETENSI DASAR

3.8. Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi atau sifat-sifat turunan fungsi
4.8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

PETA KONSEP

Peta Konsep Turunan (Persamaan Garis Singgung Kurva)

MATERI PEMBELAJARAN

Konsep Gradien Garis Lurus
Gradien garis disimbolkan dengan m, dapat diidentifkasi/ditentukan dari persamaan garis tersebut.

  1. Garis dengan persamaan garis y = mx + c, maka gradiennya adalah m
  2. Garis dengan persamaan garis ax + by + c = 0, maka gradiennya adalah m = –a/b
  3. Garis yang melalui dua buah titik yaitu (x1 , y1) dan (x2 , y2) memiliki persamaan    maka gradiennya adalah 
  4. Dua bua garis yang sejajar misal g1// g2, maka  gradien kedua garis tersebut sama dapat ditulis m1 = m2
  5. Dua buah garis saling tegak lurus misal g1 ^ g2, maka  hasil kali gradien kedua garis adalah –1. Dapat ditulis  m1 . m2 = –1 atau m1 = –1/m2 atau m2 = –1/m1

Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis singgung kurva

Persamaan Garis Singgung kurva pada titik (x1 , y1) dengan gradien m adalah sbb:

Gradien garis singgung (m) pada kurva y = f(x) melalui titik (a , f(a)) adalah m = f1(a)

Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 3x2 – 8, pada absis x =  –2

Penyelesaian:
Diketahui absis x =  –2, terlebih dahulu di cari ordinatnya, yaitu:

         y = 3x2 – 8
         f(x) = 3x2 – 8
         f(–2) = 3(–2)2 – 8
         f(–2) = 12– 8
         f(–2) = 4
Maka koordinat titik yang dilalui kurva adalah A(–2 , 4)

Gradien garis singgung pada titik A(–2 , 4), sebagai berikut:
         f(x) = 3x2 – 8
         f1(x) = 6x
         f1(–2) = 6.(–2)
         f1(–2) = –12

Selanjutnya dapat ditentukan persamaan garis singgungnya sbb:
         y – y1 = m(x – x1)
         y – 4 = –12 (x – (–2))
         y – 4 = –12 (x + 2)
                y = –12x – 24 + 4
                y = –12x – 20, atau dapat ditulis
                12x + y + 20 = 0
Jika dibuat dalam sketsa geometri, tampak seperti gambar berikut:

Baca Juga :  Cerdas Materi Matematika SMA Seri XI 3.7_4 Teorema Limit
Persamaan Garis Singgung Kurva

Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 + x yang bergradien 5.

Penyelesaian:
Diketahui m=  5,
Terlebih dahulu di cari koordinat titik yang dilalui

f(x) = x2 + x
f1(x) = 2x + 1

Diketahu f1(x) = m, Jika m = 5 , maka:
         f1(x) = 2x + 1
               5 = 2x + 1
               2x = 4
                x = 2

Untuk x = 2 , maka:      
        f(x) = x2 + x
         f(2) = 22 + 2
         f(2) = 6

Selanjutnya dapat ditentukan persamaan garis singgungnya sbb:
         y – y1 = m(x – x1)
         y – 6 = 5 (x – 2)
         y – 6 = 5x – 10
                y = 5x – 10 + 6
                y = 5x – 4, atau dapat ditulis
                5x – y – 4 = 0

Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = 3x2 – x3 yang tegak lurus dengan garis x + 3y – 24 = 0

Penyelesaian:
Diketahui garis x + 3y – 24 = 0

Terlebih dahulu di cari gradien garis tersebut:
         x + 3y – 24 = 0
         3y = –x + 24
           y = –⅓x + 8
Gradien garis x + 3y – 24 = 0 adalah –⅓ (Misal m1 = –⅓)

Garis saling tegak lurus memnuhi :
         m1 . m2 = –1
         –⅓ . m2 = –1
                  m2 = 3  (sebagai gradien persamaan garis singgung)

Perhatikan kurva f(x) = 3x2 – x3
                          f1(x) = 6x – 3x2

Diketahu f1(x) = m, Jika m = 3 , maka:
         f1(x) = 6x – 3x2
               3 = 6x – 3x2
         3x2 –  6x + 3 = 0
           x2 – 2x + 1 = 0
         (x – 1) (x – 1)= 0
         (x – 1) = 0
                   x = 1

Untuk x = 1, disubtitusi pada f(x) untuk menentukan ordinatnya
         f(x) = 3x2 – x3
         f(1) = 3(1)2 – (1)3
         f(1) = 3 – 1
         f(1) = 2, jadi koordinatnya (1 , 2)

Maka persamaan garis singgung kurva melalui titik (1 , 2) dengan gradien m = 3 adalah:

         y – y1 = m(x – x1)
         y – 2 = 3(x – 1)
         y – 2 = 3x – 3
                y = 3x – 3 + 2
                y = 3x – 1, atau dapat ditulis
                3x – y – 1 = 0

Baca Juga :  Cerdas Materi Matematika SMA Seri XI 3.7_3 Limit h mendekati 0 dari [f(x + h) – f(x)]/h

Contoh 4 (Materi Pengayaan}
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – x + 2, yang melalui titik (1 , 1) di luar kurva.

Penyelesaian:
Diketahui kurva f(x) = x2 – x + 2
         f1(x) = 2x – 1
               m = 2x – 1

Misalkan garis singgung kurva melalui titik x = a pada kurva

         Untuk x = a,
                f(a) = a2 – a + 2
                   m = 2a – 1
Maka persamaan garis singgung kurva melalui titik (a , f(a)) dengan gradien m = 2a – 1 adalah:

         y – y1 = m(x – x1)
         y – (a2 – a + 2) = (2a – 1)(x – a)

Garis ini melalui titik (1 , 1) di luar lingkaran, sehingga diperoleh:
         1 – (a2 – a + 2) = (2a – 1)(1 – a)
         1 – a2 + a – 2 = 2a – 2a2 –1 + a
         2a2 – a2 + a – 2a – a– 1 + 1 = 0
         a2 – 2a = 0
         a (a – 2) = 0 
         a = 0  atau  a = 2

Sehinggan persamaan garis singgungnya dapat ditentukan.
Untuk a = 0.
         y – (a2 – a + 2) = (2a – 1)(x – a)
         y – (02 – 0 + 2) = (2(0) – 1)(x – 0)
         y – 2 = –x
                y = –x + 2 atau dapat ditulis
                x + y – 2 = 0
Untuk a = 2.

         y – (a2 – a + 2) = (2a – 1)(x – a)
         y – (22 – 2 + 2) = (2(2) – 1)(x – 2)
         y – 4 = 3(x – 2)
                y = 3x – 2 atau dapat ditulis
                3x – y – 2 = 0

Persamaan Garis Singgung Kurva

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *